เวกเตอร์

ปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกล่าร์ปริมาณกายภาพแบ่งออกได้ 2 ประเภท   

1. ปริมาณสเกล่าร์ คือปริมาณที่บอกแต่ขนาดอย่างเดียวก็ได้ความหมายสมบูรณ์ ไม่ต้องบอกทิศทาง เช่น ระยะทาง มวล เวลา ปริมาตร ความหนาแน่น งาน พลังงาน ฯลฯ
การหาผลลัพธ์ของปริมาณสเกล่าร์ ก็อาศัยหลังการทางพีชคณิต คือ วิธีการ บวก ลบ คูณ หาร   

2. ปริมาณเวกเตอร์ คือ ปริมาณที่ต้องบอกทั้งขนาดและทิศทาง จึงจะได้ความหมายสมบูรณ์ เช่น การกระจัด ความเร่ง ความเร็ว แรง โมเมนตัม ฯลฯ
การหาผลลัพธ์ของปริมาณเวกเตอร์ ต้องอาศัยวิธีการทางเวคเตอร์ โดยต้องหาผลลัพธ์ทั้งขนาดและทิศทาง ปริมาณเวกเตอร์
1. สัญลักษณ์ของปริมาณเวกเตอร์
ใช้อักษรมีลูกศรครึ่งบนชี้จากซ้ายไปขวา หรือใช้ตัวอักษรทึบแสดงปริมาณเวกเตอร์ก็ได้
2. เวกเตอร์ที่เท่ากัน
เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์เท่ากัน เมื่อเวกเตอร์ทั้งสองเท่ากันและมีทิศไปทางเดียวกัน
3. เวกเตอร์ลัพธ์ใช้อักษร R
4. การบวก-ลบเวกเตอร์
การบวก-ลบเวกเตอร์ หรือการหาเวกเตอร์ สามารถทำได้ 2 วิธี คือ
1. วิธีการเขียนรูป
2. วิธีการคำนวณ

 

1.1 การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปแบบหางต่อหัว มีขั้นตอนดังนี้
(1) เขียนลูกศรตามเวกเตอร์แรกตามขนาดและทิศทางที่กำหนด
(2) นำหางลูกศรของเวกเตอร์ที่ 2 ที่โจทย์กำหนด ต่อหัวลูกศรของเวกเตอร์แรก
(3) นำหางลูกศรของเวกเตอร์ที่ 3 ที่โจทย์กำหนด ต่อหัวลูกศรของเวกเตอร์ที่ 2
(4) ถ้ามีเวกเตอร์ย่อยๆอีก ให้นำเวกเตอร์ต่อๆไป มากระทำดังข้อ (3) จนครบทุกเวกเตอร์
(5) เวกเตอร์ลัพธ์หาได้โดยการลากลูกศรจากหางของเวกเตอร์แรกไปยังหัวของเวกเตอร์สุดท้าย เช่น   

              

นิยามต้องทราบ
ถ้า A เป็นเวกเตอร์ใดๆที่มีขนาดและทิศทางหนึ่งๆ เวกเตอร์ -A คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับเวกเตอร์ A แต่ มี ทิศทางตรงกันข้าม   

1.2 การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการคำนวณ
เนื่องจากการหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการวาดรูป ให้ผลลัพธ์ไม่แม่นยำเพียงแต่ได้คร่าวๆ เท่านั้น เพราะถ้าลากความยาวหรือทิศทางลูกศรแทนเวกเตอร์คลาดเคลื่อนเพียงเล็กน้อย ผลของเวกเตอร์ลัพธ์ก็จะคลาดเคลื่อนไปด้วยแต่การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยการคำนวณจะให้ผลลัพธ์ถูกต้องแน่นอน   

การหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการคำนวณ เมื่อมีเวกเตอร์ย่อยเพียง 2 เวกเตอร์ จะแบ่งออกเป็น 3 ลักษณะ ดังนี้
1. เวกเตอร์ทั้ง 2 ไปทางเดียวกัน เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดเท่ากับผลบวกของขนาดเวกเตอร์ทั้งสอง ทิศทางของเวกเตอร์ไปทางเดียวกับเวกเตอร์ทั้งสอง
2. เวกเตอร์ทั้ง 2 สวนทางกัน เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดเท่ากับผลต่างของเวกเตอร์ทั้งสอง ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ไปทางเดียวกับเวกเตอร์ที่มีขนาดมากกว่า
เพราะฉะนั้น R = B – A เมื่อ B > A , R = A – B เมื่อ A > B
3. เวกเตอร์ทั้ง 2 ทำมุม 0 ต่อกัน สามารถหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีการเขียนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยให้เวกเตอร์ย่อยเป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบ ณ จุดนั้น จะ ได้เวกเตอร์ลัพธ์มีขนาดและทิศทางตามแนวเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ลากจากจุดที่เวกเตอร์ทั้งสองกระทำต่อกัน   

ระยะทาง (Distance) คือ ความยาววัดตามแนวเส้นที่อนุภาคเคลื่อนที่ เป็นปริมาณสเกล่าร์(มีเฉพาะขนาด)หน่วยมาตรฐาน SI คือ “เมตร”
การขจัด หรือ การกระจัด (Displacement) คือ เส้นตรงที่ลากจากจุดตั้งต้นของการเคลื่อนที่ไปยังจุดสุดท้ายของการเคลื่อนที่ เป็นปริมาณเวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง (คือ ทิศจากที่หัวศรลากจากจุดตั้งต้นไปสุดท้าย)มีหน่วย “เมตร” เช่นกัน   

 

กฏการเคลื่อนที่ของนิวตัน

กฏข้อที่ 1 .”กฎความเฉื่อย”
“วัตถุจะรักษาสภาพการเคลื่อนที่ในแนวเส้นตรง นอกจากจะมีแรงภายนอกที่ไม่เท่ากับศูนย์มากระทำวัตถุ” กล่าวคือ ถ้าไม่มีแรงภายนอกหรือมีแต่แรงภายนอกนั้นมีแรงลัพธ์ = 0 แล้ว วัตถุจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงสภาพการเคลื่อนที่กล่าวคือ วัตถุใดที่เคยนิ่งก็จะนิ่งต่อไป หรือ หากวัตถุใดกำลังเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเท่าไรก็จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เช่นนั้นตลอดไป

กฏข้อที่ 2.”กฎผกผัน”
“เมื่อมีแรงภายนอกที่ไม่เท่ากับศูนย์มากระทำวัตถุ จะทำให้วัตถุเปลี่ยนแปลงสภาพการเคลื่อนที่ (มีความเร่งในทิศเดียวกับแรงลัพธ์นั้น) โดยขนาดของความเร่งจะแปรผันตรงกับขนาดของแรงแต่จะแปรผกผันกับมวล ” กล่าวคือ  a a F a

 

 

ปริมาณเวกเตอร์เป็นปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง  การคำนวณมีวิธีการที่ต่างจากการคำนวณในระบบจำนวนธรรมดา  เพื่อความสะดวกในการคำนวณ  จึงมีการกำหนดสัญลักษณ์    ใช้แทนปริมาณเวกเตอร์   โดยกำหนดว่า  ความยาวแทนขนาดของเวกเตอร์  และหัวลูกศรชี้ทิศทางของเวกเตอร์   การคำนวณปริมาณเวกเตอร์ที่นักเรียนในช่วงชั้นนี้ควรทราบ คือ  

•  

1. การบวกเวกเตอร์
2. การคูณเวกเตอร์ (สำหรับนักเรียนที่เลือกเรียนวิชาฟิสิกส์เป็นวิชาเพิ่มเติม)

        การเรียกชื่อหรือเขียนชื่อของเวกเตอร์นิยมเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ดังนี้     หรือ  
       เวกเตอร์ศูนย์  คือ เวกเตอร์ที่ไม่มีขนาดและทิศทาง  แทนด้วยจุด
       เวกเตอร์ที่เท่ากันต้องมีขนาดยาวเท่ากันและทิศทางไปทางเดียวกัน
       เวกเตอร์ที่ขนาดเท่ากันแต่ทิศทางตรงกันข้าม  ถือว่าเป็นเวกเตอร์ที่ไม่เท่ากัน และเครื่องหมายตรงกันข้าม เช่น
         ขนาด 4   หน่วยทิศไปทางเหนือ       ขนาด 4  หน่วยทิศไปทางใต้  เป็นต้น  

 _{การบวกเวกเตอร์ ทำได้ 2 วิธี คือ}

•  

1. วิธีวาดรูป
2. วิธีคำนวณ

  

•  

1. เวกเตอร์ที่ขนานกัน ถ้ามีทิศทางเดียวกันนำขนาดมาบวกกัน ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ไปทางเดิม  ถ้าเวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้ามนำขนาดของเวกเตอร์มาลบกัน  เวกเตอร์ลัพธ์มีทิศทางไปทางเวกเตอร์ที่มีค่ามากกว่า
2. เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกัน ให้นำเวกเตอร์ทั้งมาบวกกัน โดยชุดที่ทิศทางขนานกันไว้ด้วยกัน  จะได้ผลบวกของเวกเตอร์สองชุดตั้งฉากกัน  นำผลบวกทั้งสองชุดมาคำนวณโดยใช้ทฤษฎีพีทากอรัส  ดังสูตรต่อไปนี้
     ให้     เป็นผลบวกของเวกเตอร์ในแนวแกน   X
              เป็่นผลบวกของเวกเตอร์ในแนวแกน   Y
   ขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ เท่ากับ  ทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์จะทำมุมกับแกน X  ซึ่งมีค่า tan ของมุมนั้นเท่ากับ  

3. เวกเตอร์ที่ไม่ตั้งฉากกัน  ในกรณีนี้จะต้องทราบขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์กับแกน X หรือแกน Y จึงจะคำนวณได้  วิธีการคือ หาองค์ประกอบของเวกเตอร์ในแนวแกน  X  และแกน Y  ของแต่ละเวกเตอร์ ดังรูป
    

    วิธีวาดรูป เป็นวิธีการเขียนรูปเวกเตอร์ตัวตั้งด้วยลูกศรให้มีขนาดและทิศทางตามที่กำหนด  แล้วเขียนลูกศรแทนเวกเตอร์ที่นำมาบวกต่อหัวลูกศรของตัวตั้ง หากมีเวกเตอร์ที่นำมาบวกอีกก็เขียนลูกศรต่อไปอีกจนครบ แล้วจึงลากเส้นจากหางลูกศรที่เป็นตัวตั้งตัวแรกไปยังปลายของลูกศรที่นำมาวาดต่อหลังสุด วัดความยาวของเส้นที่ลากนี้  จะได้ขนาดของเวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์และทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์มีทิศจากจุดตั้งต้นของเวกเตอร์ตัวตั้งไปยังปลายของเวกเตอร์สุดท้าย หรืออาจกล่าวได้ว่า เวกเตอร์ลัพธ์เป็นด้านสุดท้ายที่มาปิดให้ได้รูปเหลี่ยมครบ  

   

   วิธีคำนวณ แยกเป็นวิธีย่อย ๆ ได้ดังนี้  

 หลังจากนั้นนำองค์ประกอบแต่ละแกนมารวมกัน  จะเหลือเวกเตอร์เพียงสองเวกเตอร์ตั้งฉากกัน  หลังจากนั้นจึงหาผลบวกของเวกเตอร์ตามวิธีที่เวกเตอร์ตั้งฉากกัน   

การคูณเวกเตอร์ มีสองวิธีคือ  

•  
  •  

1. Dot   Product  ผลคูณของเวกเตอร์  เป็นปริมาณสเกลลาร์  
                ขนาดของผลคูณหาได้จากสมการ      
               โดยที่  A   และ  B  เป็นขนาดของเวกเตอร์ที่นำมาคูณกัน
                    เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ที่นำมาคูณกัน
2. Croos  Product  ผลคูณของเวกเตอร์  เป็นปริมาณเวกเตอร์
               ขนาดของผลคูณหาได้จากสมการ      
               โดยที่ A  และ B เป็นขนาดของเวกเตอร์ที่นำมาคูณกัน
                   เป็นมุมระหว่างเวกเตอร์ที่นำมาคูณกัน
               ทิศทางของเวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์หาจากการใช้กฏมือขวาดังนี้
              ” แบมือขวาออกให้นิ้วทั้งสี่ชี้ไปทางทิศของเวกเตอร์ตัวตั้ง  งอนิ้วทั้งสี่ไปหาทิศของเวกเตอร์ที่เป็นตัวคูณ หัวแม่มือชี้ทิศของเวกเตอร์ลัพธ์”